POLECAMY
Autor:
Wydawca:
Format:
pdf, ibuk
Zwięzły wykład podstawowych zagadnień teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta. Wśród omówionych tematów znajdują się: rachunek funkcyjny i twierdzenia spektralne, operatory zwarte, śladowe i Hilberta-Schmidta, samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych oraz jednoparametrowe grupy operatorów.
Dyskusja operatorów nieograniczonych oparta jest w znacznej mierze na narzędziu z teorii algebr operatorów – tak zwanej z-transformacie, która pozwala zakodować skomplikowane informacje o operatorach nieograniczonych w operatorach ograniczonych, dając w ten sposób możliwość uniknięcia wielu problemów technicznych. Publikacja przeznaczona jest dla studentów matematyki i fizyki oraz dla naukowców z tych dziedzin.
Przedstawiony wykład zakłada podstawową wiedzę z analizy matematycznej i algebry, a także z teorii funkcji analitycznych i podstaw analizy funkcjonalnej oraz teorii przestrzeni Hilberta.
Każdy rozdział kończą syntetyczne notatki ze źródłami zadań i przykładów oraz z możliwymi drogami dalszego rozwoju teorii.
*********
Elements of the Theory of Operators on Hilbert Space
The book provides a concise and self-contained exposition of introductory topics in the theory of operators on Hilbert spaces. The topics covered include functional calculus and various versions of spectral theorems both for bounded and unbounded operators, compact operators, the trace and trace-class and Hilbert-Schmidt operators, selfadjoint extensions of symmetric operators and one-parameter groups of unitary operators.
The treatment of unbounded operators is largely based on a tool from theory of operator algebras, the so called z-transform. The transform makes it possible to encode complicated information about unbounded operators by bounded ones and thus avoid many intricacies of standard approach.
The book is intended for students of mathematics and physics as well as scientists working in those areas. Prerequisites include basic knowledge of analysis, algebra, measure theory as well as analytic functions and rudiments of functional analysis and Hilbert spaces.
Each chapter ends with a brief note indicating sources for examples, exercise problems and further developments of the theory.
*********
Dr hab. Piotr Mikołaj Sołtan – ukończył Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Obecnie jest adiunktem w Katedrze Metod Matematycznych Fizyki na Wydziale Fizyki UW. Po doktoracie obronionym na tym wydziale odbył staże w Instytucie Matematycznym wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Wilhelma w Münster oraz w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk, gdzie w 2010 roku uzyskał stopień doktora habilitowanego na podstawie prac poświęconych zwartym grupom kwantowym definiowanym przez własności uniwersalne.
Autor prac z dziedziny grup kwantowych i edytor tomów "Quantum Groups and Non-commutative Geometry" oraz "Topological Quantum Groups", opublikowanych przez Banach Center Publications. Jego zainteresowania naukowe koncentrują się wokół teorii topologicznych grup kwantowych, nieprzemiennej geometrii i algebr operatorów.
Rok wydania | 2018 |
---|---|
Liczba stron | 184 |
Kategoria | Analiza matematyczna |
Wydawca | Uniwersytet Warszawski |
ISBN-13 | 978-83-235-3414-3 |
Numer wydania | 2 |
Język publikacji | polski |
Informacja o sprzedawcy | ePWN sp. z o.o. |
POLECAMY
Ciekawe propozycje
Spis treści
Wstęp | 9 |
Część 1. Operatory ograniczone | 13 |
Rozdział 1. Widmo operatora 15 | |
1.1. C*-algebra operatorów na przestrzeni | |
Hilberta | 15 |
1.2. Widmo i promień spektralny | 16 |
1.3. Widmo w C*-algebrach | 22 |
Notatki | 22 |
Rozdział 2. Rachunek funkcji ciągłych 23 | |
Notatki | 27 |
Rozdział 3. Operatory dodatnie 28 | |
3.1. Operatory dodatnie | 28 |
3.2. Rzuty | 33 |
3.3. Częściowe izometrie | 34 |
3.4. Rozkład biegunowy | 35 |
3.5. Monotoniczna zbieżność operatorów | 37 |
Notatki | 38 |
Rozdział 4. Twierdzenia spektralne i rachunek funkcyjny 39 | |
4.1. Operatory mnożenia | 40 |
4.2. Rachunek funkcji borelowskich | 45 |
4.3. Miary spektralne | 48 |
4.4. Rachunek funkcji holomorficznych | 51 |
4.5. Twierdzenia Fuglede i Putnama | 56 |
4.6. Rachunek funkcyjny w C*-algebrach | 58 |
Notatki | 60 |
Rozdział 5. Operatory zwarte 62 | |
5.1. Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta | 62 |
5.2. Alternatywa Fredholma | 64 |
Notatki | 69 |
Rozdział 6. Ślad 70 | |
6.1. Definicja śladu | 70 |
6.2. Operatory śladowe i operatory Hilberta- | |
Schmidta | 72 |
6.3. Operatory Hilberta-Schmidta na L2 | 83 |
Notatki | 85 |
Rozdział 7. Rachunek funkcyjny dla rodzin operatorów 86 | |
7.1. Rachunek funkcji holomorficznych | 86 |
7.2. Rachunek funkcji ciągłych | 90 |
7.3. Wspólne widmo | 91 |
7.4. Rachunek funkcyjny dla operatorów normalnych | |
91 | |
Notatki | 94 |
Część 2. Operatory nieograniczone | 95 |
Rozdział 8. Operatory i ich wykresy 97 | |
8.1. Podstawy | 97 |
8.2. Operator sprzężony | 100 |
8.3. Operacje algebraiczne | 102 |
8.4. Widmo | 105 |
Notatki | 106 |
Rozdział 9. z-transformata 107 | |
9.1. Operator T*T | 107 |
9.2. z-transformata operatora domkniętego | 109 |
9.3. Rozkład biegunowy | 115 |
Notatki | 118 |
Rozdział 10. Twierdzenia spektralne 119 | |
10.1. Rachunek funkcji ciągłych | 119 |
10.2. Rachunek funkcji borelowskich | 123 |
10.3. Miara spektralna | 127 |
Notatki | 133 |
Rozdział 11. Samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych 134 | |
11.1. Zawieranie operatorów w terminach z- | |
transformat | 134 |
11.2. Transformata Cayley'a | 135 |
11.3. Rozszerzenia Kreina i Friedrichsa | 142 |
Notatki | 149 |
Rozdział 12. Jednoparametrowe grupy operatorów unitarnych 150 | |
12.1. Twierdzenie Stone'a | 150 |
12.2. Wzór Trottera | 154 |
Notatki | 157 |
Część 3. Uzupełnienia 159 | |
U.1. Twierdzenie Banacha-Steinhausa | 161 |
U.2. Twierdzenie Dynkina | 162 |
U.3. Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta | 164 |
U.4. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym | 166 |
U.5. Przestrzenie i algebry ilorazowe | 169 |
Wykaz oznaczeń | 176 |
Literatura | 179 |
Skorowidz | 180 |