Moje ulubione zagadki matematyczne i logiczne - ebook

Wstęp

Przez dwadzieścia pięć lat miałem zaszczyt pisać kolumnę „Mathematical Games” w Scientific American. Co pół roku prezentowałem w niej problemy matematyczne i logiczne, zwane przeze mnie krótkimi zadaniami lub zagadkami. Były one, oczywiście, bardziej matematyczne niż anegdotyczne. Starałem się prezentować problemy nowe, niezwykłe, których nie można było znaleźć w znanych powszechnie zbiorach, na przykład Sama Loyda i Henry’ego Dudeneya.

Czytelnicy kolumny szybko zauważali pojawiające się w zadaniach nieścisłości i proponowali alternatywne sposoby ich rozwiązywania czy interesującego uogólniania. Te cenne informacje zwrotne były bardzo przydatne, gdy opublikowane w kolumnie zagadki przedrukowywano w wydawniczych zbiorach.

Większość zadań przedstawionych w tej książce wybrano z trzech wcześniejszych zbiorów. Ostatnich 12 zagadek pochodzi z dwóch artykułów, które zamieściłem w magazynie Games (styczeń/luty i listopad/grudzień, 1978). Kilka problemów uaktualniono dotyczącymi ich, także nowymi informacjami. Oczywiście, będę wdzięczny za wszelkie korekty i uzupełnienia moich propozycji. Można je przesyłać na adres wydawcy: Dover Publications, 31 East 2nd Street, Mineola, N.Y. 11505.

Martin Gardner

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książkiŁamigłówki

1. Nie tylko tam, gdzie żyją białe niedźwiedzie

To stara, znana zagadka. Pewien badacz-wędrowiec maszerował jedną milę w kierunku południowym, następnie skręcił i maszerował jedną milę w kierunku wschodnim, dalej kolejny raz skręcił i maszerował w kierunku północnym – także jedną milę. Wtedy znalazł się w miejscu, z którego rozpoczął marsz. Po drodze spotkał i zastrzelił niedźwiedzia. Jakiego koloru był niedźwiedź? Klasyczna odpowiedź, oparta na przekonaniu, że badacz-wędrowiec musiał rozpocząć swoją wędrówkę na Biegunie Północnym, brzmi: „Białego”. Nie tak dawno zauważono jednak, że Biegun Północny nie jest jedynym punktem startowym, który spełnia warunki zadania! Jak myślisz, gdzie jeszcze na powierzchni Ziemi znajduje się miejsce, do którego wrócimy, wędrując z niego kolejno milę na południe, milę na wschód i milę na północ?

2. Dobierany poker

Dwóch mężczyzn gra w pokera w następujący, dziwny sposób: rozkładają na stole 52 karty nie odkrywając ich. Pierwszy gracz wybiera losowo pięć kart. Drugi gracz robi to samo. Pierwszy gracz może teraz zatrzymać swoich pięć kart lub wymienić dowolną ich liczbę. Odrzucone karty nie biorą udziału w dalszej grze. Drugi gracz postępuje analogicznie. Wygrywa osoba, która ma w ręce karty o większej wartości. Kolor kart nie odgrywa roli, zatem gracze zremisują, jeśli żaden z nich nie będzie miał kart o większej wartości. W pewnym momencie gracze odkryli, że pierwszy zawodnik może zawsze wygrać, jeśli poprawnie wybierze pierwszych pięć kart. Jakie karty zapewnią mu zwycięstwo?

3. Nowa szachownica

Teraz proponuję zagadkę szachową, w której biorą udział 32 piony. Każdy obejmuje dwa sąsiadujące, mające wspólną krawędź, pola na klasycznej 64-polowej szachownicy. 32 piony pokrywają w ten sposób całą szachownicę. Przypuśćmy, że z szachownicy wycięliśmy dwa pola – skrajne na jej przekątnej (jak na rysunku) i usunęliśmy jeden pion. Czy można rozmieścić pozostałych 31 pionów na szachownicy tak, aby pokryły pozostałe 62 pola? Jeśli tak, to należy pokazać, jak to zrobić; jeśli nie, to trzeba udowodnić, że jest to niemożliwe.

4. Na rozstajach dróg

To nowa wersja starej zagadki logicznej. Pewien logik, spędzający wakacje gdzieś na morzach południowych, znalazł się pewnego razu na wyspie zamieszkanej przez dwa przysłowiowe plemiona – plemię kłamców i plemię prawdomównych. Członkowie pierwszego plemienia zawsze kłamią, a członkowie drugiego zawsze mówią prawdę. Dotarłszy na rozstaje dróg nie wiedział, która prowadzi do wioski. Postanowił zapytać o to przechodzącego nieopodal tubylca. Nie wiedział, oczywiście, czy jest on kłamcą, czy prawdomównym. Chwilę pomyślawszy, zadał tylko jedno pytanie. Odpowiedź, którą otrzymał, pozwoliła mu wybrać prawidłową drogę do wioski. Jakie pytanie zadał logik?

5. Zaszyfrowane pudełka

Wyobraźmy sobie, że mamy trzy pudełka: jedno zawiera dwie kule białe, drugie dwie kule czarne, a w trzecim znajduje się jedna kula biała i jedna czarna. Pudełka są zamknięte i oznaczone literami BB, CC i BC, ale ktoś tak pozamieniał kule, że każde pudełko w konsekwencji jest oznaczone błędnie. Z dowolnego pudełka możesz wyjąć jedną kulę, nie sprawdzając, jaki jest kolor pozostałej w tym pudełku, drugiej kuli. Czynność tę możesz powtarzać. Co najmniej ilu losowań potrzeba, aby móc stwierdzić, jakiego koloru kule są w poszczególnych pudełkach?

6. Dzielenie sześcianu

Stolarz pracujący przy pile tarczowej postanowił podzielić drewniany sześcian o boku długości trzech cali na 27 jednocalowych sześcianików. Zrobił to w prosty sposób: wykonał sześć cięć przez sześcian (po dwa w każdej płaszczyźnie), dbając o to, aby wskutek nich trzycalowy sześcian się nie rozsypał (patrz poniższy rysunek). Czy mógł on zmniejszyć niezbędną liczbę cięć przestawiając powstałe kawałki po każdym cięciu?

7. Bronx czy Brooklyn?

Pewien młody mężczyzna mieszka na Manhattanie, w pobliżu stacji szybkiego metra. Ma on dwie przyjaciółki – jedna mieszka na Brooklynie, a druga na Bronxie. Aby odwiedzić przyjaciółkę na Brooklynie, wybiera pociąg po jednej stronie peronu; aby odwiedzić przyjaciółkę na Bronxie – pociąg z drugiej strony tego samego peronu. Ponieważ jednakowo lubi obie dziewczyny, po prostu wsiada do pierwszego pociągu, który pojawi się na peronie. W ten sposób pozwala przypadkowi zdecydować, którą przyjaciółkę odwiedzi. Mężczyzna zjawia się na peronie metra w losowym momencie każdego sobotniego popołudnia. Pociągi w kierunku Brooklynu i Bronxu przyjeżdżają na stację z jednakową częstotliwością – co 10 minut. Po jakimś czasie młody człowiek stwierdził, że o wiele więcej czasu, a dokładniej: średnio dziewięć na dziesięć sobót, spędza z przyjaciółką mieszkającą na Brooklynie. Czy można w przekonujący sposób wyjaśnić, dlaczego los tak mocno faworyzuje jego przyjaciółkę z Brooklynu?

8. Wcześniejszy powrót do domu

Pewien mężczyzna, wracając z pracy, zazwyczaj przyjeżdża na docelową stację kolejki podmiejskiej dokładnie o godzinie siedemnastej. Tam czeka na niego jego żona i razem wracają do domu samochodem. Któregoś dnia mężczyzna zdążył na wcześniejszy pociąg i na stacji docelowej znalazł się już o godzinie szesnastej. Ponieważ była ładna pogoda, postanowił, nie informując o tym telefonicznie żony, wrócić do domu pieszo. Po drodze spotkał żonę – jechała samochodem w kierunku stacji. Wsiadł do samochodu i razem wrócili do domu – dziesięć minut wcześniej niż zwykle. Przyjmując, że żona zawsze prowadzi samochód ze stałą prędkością i że wyjeżdża z domu tak, aby spotkać męża na stacji dokładnie o godzinie siedemnastej, wyznacz czas pieszej wędrówki męża od stacji do momentu spotkania żony.

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki